Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n+a_n=n（n=1，2，3…）．
（1）求a₁，并证明：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）设b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3…），如果对任意n∈N^*，b_n≤t²-

1

4

t，求t的范围；
（3）记C_n=-

1

an-1

试问{C_n}中是否存在一项C_k，使得C_k恰好可以表示为该数列中连续P（P∈N，P≥2）项的和？请说明理由．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用S_n+a_n=n，得S_n+1+a_n+1=n+1，两式相减，整理可得数列{a_n-1是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列；
（2）先确定b_n=（2-n）（a_n-1）的，通项公式，再利用b_n+1-b_n，确定b_n有最大值b，可求实数t的取值范围．
（3）求出C_n的表达式，利用反证法即可证明结论是否成立．

解答： 解：（1）由题可知：S_n+a_n=n，①
S_n+1+a_n+1=n+1，②
②-①可得2a_n+1-a_n=1       
即a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），
又a₁-1=-

1

2

，
∴数列{a_n-1是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（2）由（1）可得a_n=1-(

1

2

)n，
∴b_n=（2-n）（a_n-1）=

n-2

2n

，
由b_n+1-b_n=

n+1-2

2n+1

-

n-2

2n

=

3-n

2n+1

＞0，可得n＜3，
由b_n+1-b_n＜0可得n＞3，
即b₁＜b₂＜b₃=b₄，b₄＞b₅＞…＞b_n＞…，
故b_n有最大值b₃=b₄=

1

8

，
∴对任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，等价于对任意n∈N^*，都有

1

8

≤t²-

1

4

t成立，
∴t²-

1

4

t-

1

8

≥0，
解得t≥

1

2

或t≤-

1

4

，
∴实数t的取值范围是（-∞，-

1

4

]∪[

1

2

，+∞）；
（3）由（1）得：C_n=-

1

an-1

=2ⁿ，
设{C_k}的前n项和为Sn，则Sn=2ⁿ⁺¹-1，
假设存在C_k满足（3）中条件，则存在正整数m，使得S（m+P）-Sm=2^m+1（2^P-1）=2^k=C_k成立，
即存在m，使2^P-1=2^k-m-1成立，
而2^P-1为大于3的奇数，2^k-m-1只有1和偶数两种情况出现，两者没有交集不可能相等．
∴假设不成立．
∴{C_n}中不存在满足条件（3）的项C_k．

点评：本题主要考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，确定数列的通项，求出数列的最大值是解题的关键，综合性较强，运算量较大．