Question

在平面直角坐标系中，若A、B两点同时满足：
①点A、B都在函数y=f（x）图象上；
②点A、B关于原点对称，则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一个“姐妹点对”（注：点对（A，B）与（B，A）为同一“姐妹点对”）．
已知函数g（x）=a^x-x-a，（a＞0，a≠1）．
（1）当a=2时，g（x）有

 

个“姐妹点对”；
（2）当g（x）有“姐妹点对”时，实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：（1）当a=2时，化简g（x）的表达式，利用定义求出x的值，判断“姐妹点对”的个数；
（2）g（x）有“姐妹点对”，利用定义通过基本不等式即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵

y=2x-x-2 -y=2-x+x-2

⇒2x+2-x-4=0⇒2x=2±

3

⇒x=log2(2±

3

)
当x=log2(2+

3

)时
，A(log2(2+

3

)，

3

-log2(2+

3

))，
B(-log2(2+

3

)，-

3

+log2(2+

3

))；
当x=log2(2-

3

)时，
A(log2(2-

3

)，-

3

-log2(2-

3

))，
B(-log2(2-

3

)，

3

+log2(2-

3

))．
故两种情况的“姐妹点对”一样，答案只有一对．
故答案为：1．
（2）

y=ax-x-a -y=a-x+x-a

⇒2a=ax+a-x＞2⇒a＞1．
故答案为：（1，+∞）．

点评：本题考查新定义的应用，函数的零点以及基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．