Question

已知矩阵M=

a 1 1 b

，若向量

-2 1

在矩阵M的交换下得到向量

1 2

（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）矩阵N=

1 0 2 1

，求直线x+y+1=0在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线方程．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）利用矩阵变换公式，即可求矩阵N；    
（Ⅱ）求出MN，可得坐标之间的关系，代人直线x+y+1=0整理，即可求曲线的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由

a 1 1 b

-2 1

=

1 2

…（1分）
得

-2a+1=1 -2+b=2

，解得a=0，b=4…（2分）
∴M=

0 1 1 4

…（3分）
（Ⅱ）NM=

1 0 2 1

0 1 1 4

=

0 1 1 6

…（4分）
设P（x，y）为x+y+1=0上任一点，在NM变换作用下的对应点为P'（x'，y'），
则

0 1 1 6

x y

=

x′ y′

…（5分）
得

y=x′ x+6y=y′

，代入x+y+1=0得y'-5x'+1=0…（6分）
即所求的曲线方程为5x-y-1=0…（7分）

点评：本题给出矩阵变换，求直线x+y+1=0在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线方程，着重考查了矩阵与变换的运算、曲线方程的求法等知识，属于中档题．