Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为单位圆C₂：x²+y²=1的直径，且椭圆的离心率为

6

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆短轴的上顶点B₁作直线分别与单位圆C₂和椭圆C₁交于A，B两点（A，B两点均在y轴的右侧），设B₂为椭圆的短轴的下顶点，求∠AB₂B的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为单位圆C₂：x²+y²=1的直径，且椭圆的离心率为

6

3

，求出b，a，即可求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的短轴的上顶点B₁的直线的方程为y=kx+1，代入C₁得B的坐标，确定直线B₂A的斜率、直线B₂B的斜率的关系，利用向量的数量积公式，求出cos∠AB₂B，利用基本不等式，即可求∠AB₂B的最大值．

解答： 解：（1）由题意知b=1，又e=

c

a

=

a2-1

a

=

6

3

，解得a²=3，
所以椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．…（7分）
（2）由（1）得B₁（0，1），B₂（0，-1），设过椭圆的短轴的上顶点B₁的直线的方程为y=kx+1，
由于B₁B₂为圆的直径，所以直线B₂A的斜率k1=-

1

k

．
把y=kx+1代入C₁得B(-

6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

)，
由题意易知k＜0，且直线B₂B的斜率为k2=

1-3k2 1+3k2 +1

-6k 1+3k2

=-

1

3k

，
所以k₁，k₂＞0，且k₁=3k₂，…（10分）
又在△B₂AB是直角三角形，所以∠AB₂B必为锐角．
因为

B2A

与

B2B

的方向向量分别为（1，k₁），（1，k₂），
所以

B2A

•

B2B

=(1，k1)•(1，k2)=1+3

k

2 2

，
又

B2A

•

B2B

=

1+ k 2 1

•

1+ k 2 2

cos∠AB2B，从而cos∠AB2B=

1+3 k 2 2

1+9 k 2 2 • 1+ k 2 2

…（12分）
=

1- 4 k 2 2 1+10 k 2 2 +9 k 4 2

=

1- 4 1 k 2 2 +9 k 2 2 +10

≥

3

2

，
当且仅当k2=

3

3

时，cos∠AB₂B取得最小值

3

2

，
由∠AB₂B为锐角得∠AB₂B的最大值为

π

6

．…（15分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．