Question

18．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）经过点${P}（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，动点${M}（{2\sqrt{3}，t}）$（t＞0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM（O为坐标原点）为直径且被直线$\sqrt{3}x-y-5=0$截得的弦长为$2\sqrt{3}$的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率，求得a和c关系，将P点代入椭圆方程，即可求得椭圆的标准方程；
（2）求得圆的圆心与半径，设圆方程，利用点到到直线的距离公式及勾股定理即可求得t的值，求得圆的方程．

解答 解：（1）由题意得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，①，因为椭圆经过点$P（\;\sqrt{3}\;，\;\frac{1}{2}\;）$，
所以$\frac{{{{（\;\sqrt{3}）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（\;\frac{1}{2}\;）}^2}}}{b^2}=1$，②又a²=b²+c²③，
由①②③解得a²=4，b²=1，c²=3．
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…．…..（6分）
（2）以OM为直径的圆的圆心为$（\;\sqrt{3}\;，\;\frac{t}{2}\;）$，半径$r=\sqrt{\frac{t^2}{4}+3}$，
故圆的方程为${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-\frac{t}{2}）^2}=\frac{t^2}{4}+3$．…（7分）
因为以OM为直径的圆被直线$\sqrt{3}x-y-5=0$截得的弦长为$2\sqrt{3}$，
所以圆心到直线$\sqrt{3}x-y-5=0$的距离$d=\sqrt{{r^2}-3}=\sqrt{\frac{t^2}{4}+3-3}=\frac{t}{2}$．…（9分）
∴$\frac{{|3-\frac{t}{2}-5|}}{2}=\frac{t}{2}$，…..（11分）   
即|t+4|=2t，故t+4=2t，或t+4=-2t，
解得t=4，或$t=-\frac{4}{3}$．  又t＞0，故t=4．…（13分）
所求圆的方程为${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-2）^2}=7$．…..（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，勾股定理，考查计算能力，属于中档题．