Question

如图，矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=2，E，F，M，N分别是矩形四条边的中点，G，H分别是线段ON，CN的中点．
（Ⅰ）证明：直线EG与FH的交点L在椭圆Ω：

x2

4

+y²=1上；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（-1≤m≤1）与椭圆Ω：

x2

4

+y²=1有两个不同的交点P，Q，直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求

|PQ|

|ST|

的最大值及取得最大值时m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件求出直线EG：y=x-1，直线FH：y=-

1

4

x+1，从而得到直线EG与FH的交点，由此能证明直线EG与FH的交点L在椭圆Ω上．
（Ⅱ）联立

x2 4 +y2=1 y=x+m

，得5x²+8mx+4m²-4=0，由△=64m²-20（4m²-4）＞0，且-1≤m≤1，得-1≤m≤1，由此能求出

|PQ|

|ST|

的最大值．

解答： （Ⅰ）证明：∵矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=2，
E，F，M，N分别是矩形四条边的中点，G，H分别是线段ON，CN的中点，
∴点E（0，-1），G（1，0），F（0，1），H(2，

1

2

)，（1分）
∴直线EG：y=x-1，直线FH：y=-

1

4

x+1，（3分）
∴直线EG与FH的交点L(

8

5

，

3

5

)，（4分）
∵

( 8 5 )2

4

+(

3

5

)2=1，
∴直线EG与FH的交点L在椭圆Ω：

x2

4

+y2=1上．（5分）
（Ⅱ）解：联立方程组

x2 4 +y2=1 y=x+m

，
消去y，得5x²+8mx+4m²-4=0，（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-4

5

，（7分）
由△=64m²-20（4m²-4）＞0，且-1≤m≤1，
得-1≤m≤1．（8分）|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2

•

(- 8m 5 )2-4• 4m2-4 5

=

4 2

5

5-m2

，（10分）
由于-1≤m≤1时，直线l与矩形ABCD的边AB、CD相交，
∴|ST|=2

2

，（11分）
则

|PQ|

|ST|

=

2

5

5-m2

，
∴m=0时，

|PQ|

|ST|

取最大值

2 5

5

．（13分）

点评：本题考查两直线的交点在椭圆上的证明，考查两线段比值的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．