Question

函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）＞1的解集．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由对数的定义可得，a^x-1＞0，讨论a＞1，0＜a＜1，运用指数函数的单调性，即可得到定义域；
（2）令t=a^x-1，则y=log_at，讨论a＞1，0＜a＜1函数的单调性，注意运用复合函数的单调性：同增异减，即可得到单调区间；
（3）讨论a＞1，0＜a＜1，运用指数函数和对数函数的单调性，即可得到解集．

解答： 解：（1）由对数的定义可得，a^x-1＞0，
当a＞1时，a^x＞1解得，x＞0；当0＜a＜1时，a^x＞1解得x＜0．
则a＞1的定义域为（0，+∞），0＜a＜1的定义域为（-∞，0）；
（2）令t=a^x-1，则y=log_at，
当a＞1时，t在x＞0上递增，y在t＞0上，则函数的增区间为（0，+∞）；
当0＜a＜1时，t在x＜0上递减，y在t＞0上递减，则函数的增区间为（-∞，0）
故函数f（x）的增区间为（-∞，0）（0＜a＜1），（0，+∞）（a＞1）；
（3）f（x）＞1即为log_a（a^x-1）＞1．
当a＞1时，log_a（a^x-1）＞a⁰，即有a^x-1＞0，解得x＞0；
当0＜a＜1时，log_a（a^x-1）＞1，即有a^x-1＜0，解得，x＞0．
故解集为（0，+∞）．

点评：本题考查指数函数和对数函数的定义域和值域，以及单调性，考查运算能力，以及分类讨论的思想方法，属于中档题．