Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-a_n=2n（n∈N），S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₂=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由于a_n+1-a_n=2n（n∈N），利用“累加求和”可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n²-n+1，即可得出S_n=（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）+n=

n(n+1)(2n+1)

6

-

n(n+1)

2

+n．

解答： 解：∵a_n+1-a_n=2n（n∈N），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2+1
=

2×(n-1)(1+n-1)

2

+1
=n²-n+1，
∴S_n=（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）+n
=

n(n+1)(2n+1)

6

-

n(n+1)

2

+n．
∴S₂₀₁₂=27169779084．
故答案为：27169779084．

点评：本题考查了“累加求和”、等差数列的前n项和公式及其公式（1²+2²+…+n²）=

n(n+1)(2n+1)

6

-

n(n+1)

2

+n，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．