Question

已知函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+2sin2x．
（1）求函数f（x）在x∈[-π，0]上的单调递减区间；
（2）若在x∈[0，

π

2

]上，总存在x₀使得f（x₀）+m＞0成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=-sin（2x+

π

6

）+1，利用正弦函数的单调性可求得函数y=f（x）的单调递减区间，继而可得x∈[-π，0]时函数的单调递减区间；（2）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]⇒sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，于是可求得f（x）_max=

3

2

，依题意，

3

2

+m＞0，从而可求得m的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+1-cos2x
=-sin（2x+

π

6

）+1，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∵x∈[-π，0]，
∴函数的单调递减区间为[-π，-

5π

6

]和[-

π

3

，0]，
（2）∵x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）_max=

3

2

，依题意，

3

2

+m＞0，
解得：m＞-

3

2

．
∴m的取值范围为（-

3

2

，+∞）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查理解与运算能力，属于中档题．