Question

判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）=|x+1|+|x-1|
（2）f（x）=

2x2+2x

x+1

（3）f（x）=

1-x2

+

x2-1

（4）f（x）=

1-x2

2-|x+2|

（5）f（x）=（x-1）

1+x 1-x

（6）f（x）=

x+3 0 -x+3

，

x＜-1 |x|≤1 x＞1

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：按照函数的奇偶性的判断，首先求出函数的定义域，然后判断是否关于原点对称，如果对称，再利用奇偶性的定义判断f（-x）与f（x）的关系；如果不对称，函数是非奇非偶的函数．

解答： 解：（1）定义域为R，∵f（-x）=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f（x），
∴f（x）为偶函数；
（2）定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，∴f（x）为非奇非偶函数；
（3）定义域为{-1，1}，所以f（x）=0，∴f（x）为既奇又偶函数；
（4）定义域为{x|-1≤x≤1，x≠0}，定义域关于原点对称，并且f(x)=

1-x2

-x

，
∵f(-x)=

1-x2

x

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数；
（5）定义域为{x|-1≤x＜1}不关于原点对称，∴f（x）为非奇非偶函数；
（6）定义域为R，当x＜-1时，∵-x＞1，∴f（-x）=-（-x）+3=x+3=f（x）；
当x＞1时，∵-x＜-1，∴f（-x）=-x+3=f（x）；
当-1≤x≤1时，f（-x）=f（x）=0，
∴f（x）为偶函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断；要判断函数的奇偶性，必须首先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再利用函数奇偶性的定义，判断f（-x）与f（x）的关系．