Question

15．已知f（x）是定义在R上的函数，f'（x）是f（x）的导函数．给出如下四个结论：
①若$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，且f（0）=e，则函数xf（x）有极小值0；
②若xf'（x）+2f（x）＞0，则4f（2ⁿ⁺¹）＜f（2ⁿ），n∈N^*；
③若f'（x）-f（x）＞0，则f（2017）＞ef（2016）；
④若f'（x）+f（x）＞0，且f（0）=1，则不等式f（x）＜e^-x的解集为（0，+∞）．
所有正确结论的序号是①③．

Answer 1

分析 由各个选项中的条件分别构造函数g（x），由求导公式和法则求出g′（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，由条件和函数的单调性进行判断即可．

解答 解：①、设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵$f′（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，∴$\frac{xf′（x）+f（x）}{x}＞0$，
则函数g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）上递增，
∴函数g（x）的极小值是g（0）=0，①正确；
②、设g（x）=x²f（x），
则g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）=x[xf'（x）+2f（x）]，
∵xf'（x）+2f（x）＞0，
∴则函数g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）上递增，
∵2ⁿ⁺¹＞2ⁿ＞0，∴g（2ⁿ⁺¹）＞g（2ⁿ），即4f（2ⁿ⁺¹）＞f（2ⁿ），②不正确；
③、设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-（{e}^{x}）′f（x）}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f'（x）-f（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在R上是增函数，
∴g（2017）＞g（2016），则$\frac{f（2017）}{{e}^{2017}}＞\frac{f（2016）}{{e}^{2016}}$，
即f（2017）＞ef（2016），③正确；
④、g（x）=e^xf（x），
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]，
∵对任意x∈R满足f（x）+f′（x）＞0，e^x＞0，
∴对任意x∈R满足g′（x）＞0，则函数g（x）在R上是增函数，
∵f（0）=1，且f（x）＜e^-x的化为g（x）＜1=g（0），即x＜1，
则不等式的解集是（-∞，1），④不正确；
故答案为：①③．

点评 本题考查导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，以及构造法的应用，考查化简、变形能力．