Question

6．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{7}$，$\overrightarrow a•（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=-4$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$夹角是（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 将$\overrightarrow a•（\overrightarrow b-\overrightarrow a）=-4$展开可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，将|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$两边平方可求出|$\overrightarrow{b}$|，再代入向量的夹角公式计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{a}}^{2}$=-4，${\overrightarrow{a}}^{2}$=|$\overrightarrow{a}$|²=1，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-3．
∵|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{7}$，即${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=7，
∴${\overrightarrow{b}}^{2}$=12，即|$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0≤＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞≤π，
∴＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{5π}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．