Question

19．如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为侧面BB₁C₁C与CC₁D₁D的中心．
（1）判断A₁E与B₁F的位置关系；
（2）求A₁E与B₁F所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法得到A₁E与B₁F异面．
（2）设A₁E与B₁F所成的角为θ，由$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（-2，-1，-1），利用向量法能求出A₁E与B₁F所成的角的余弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则E（1，2，1），A₁（2，0，2），B₁（2，2，2），F（0，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（-2，-1，-1），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$与$\overrightarrow{{B}_{1}F}$不共线，又A₁E与B₁F没有交点，
∴A₁E与B₁F异面．
（2）设A₁E与B₁F所成的角为θ，
∵$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，2，-1），$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（-2，-1，-1），
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{{B}_{1}F}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|•|\overrightarrow{{B}_{1}F}|}$=$\frac{|2-2+1|}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{4}$，
∴A₁E与B₁F所成的角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查空间中两条直线的位置关系的判断，考查两直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．