Question

10．已知定义域为R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（$\frac{1}{2}$）=0，则不等式f（x-2）＞0的解集是{x|x＞$\frac{5}{2}$或x＜$\frac{3}{2}$}．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．

解答 解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（$\frac{1}{2}$）=0，
∴不等式f（x-2）＞0等价为f（|x-2|）＞f（$\frac{1}{2}$），
即|x-2|＞$\frac{1}{2}$，
即x-2＞$\frac{1}{2}$或x-2＜-$\frac{1}{2}$，
即x＞$\frac{5}{2}$或x＜$\frac{3}{2}$，
∴不等式f（x-2）＞0的解集为{x|x＞$\frac{5}{2}$或x＜$\frac{3}{2}$}．
故答案为：{x|x＞$\frac{5}{2}$或x＜$\frac{3}{2}$}．

点评 本题主要考查不等式的解法和应用问题，解题时应利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行等价转化，是综合性题目．