Question

2．若有函数y=2sin （2x+$\frac{π}{3}$）
（1）指出该函数的对称中心；
（2）指出该函数的单调区间；
（3）若自变量x$∈（0，\frac{π}{4}）$，求该函数的值域．

Answer 1

分析 根据正弦函数想图象及性质可得答案．

解答 解：函数y=2sin （2x+$\frac{π}{3}$）
（1）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，
可得：x=$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{6}$
∴对称中心坐标（$\frac{1}{2}$kπ$-\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{5π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{π}{12}+kπ$，
∴单调递增区间是[$-\frac{5π}{12}+kπ$，$\frac{π}{12}+kπ$]，k∈Z．
令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{12}+kπ$≤x≤$\frac{7π}{12}+kπ$．
∴单调递减区间是[$\frac{π}{12}+kπ$，$\frac{7π}{12}+kπ$]，k∈Z．
（3）∵x$∈（0，\frac{π}{4}）$，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）
∴sin （2x+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]
则f（x）的值域（1，2]．

点评 本题考了三角函数的图象和性质的运用．属于基础题．