Question

已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足：①f（x）=f（2-x）；②当0≤x≤1时，f（x）=x²
（1）求f（5.5）的值；
（2）证明：x∈R时，f（x+2）=f（x）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由偶函数y=f（x）和①f（x）=f（2-x）推出函数的周期为2，将f（5.5）转化为f（0.5），再由条件②，即可得到结果；
（2）运用偶函数y=f（x）和①f（x）=f（2-x）即可推出函数的周期为2．

解答： （1）解：∵f（x）=f（2-x）
即f（-x）=f（2+x）
又∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴f（x+2）=f（x）
∴f（x）是周期为2的函数．
∴f（5.5）=f（5.5-6）=f（-0.5）=f（0.5）
又0≤x≤1时 f（x）=x²
∴f（0.5）=

1

4

即f（5.5）=

1

4

；
（2）证明：∵f（x）=f（2-x）
即f（-x）=f（2+x）
又∵f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∴f（x+2）=f（x）．
即x∈R时，f（x+2）=f（x）．

点评：本题考查函数的周期性和奇偶性及其运用，同时考查解决抽象函数的常用方法：赋值或赋式，应掌握．