Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．
（Ⅰ）求证：AC₁⊥BA₁；
（Ⅱ）求四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先利用面面垂直的判定定理证明出平面A₁AC⊥平面ABC，进而证明出BC⊥AC₁，同理根据菱形的性质证明出A₁C⊥AC₁，利用线面垂直的判定定理证明出AC₁⊥平面A₁CB，最后根据线面垂直的性质证明出AC₁⊥BA₁．
（Ⅱ）分别求出VA1B1C1-ABC和VA1-ABC最后作差即可．

解答： （Ⅰ）证明：∵A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，
∴A₁D⊥平面ABC，
∵A₁D?平面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面ABC，
∵BC⊥AC，平面A₁AC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁AC，
∵AC₁?平面A₁AC，
∴BC⊥AC₁，
∵四边形ACC₁A₁为平行四边形，AA₁=AC，
∴四边形ACC₁A₁为菱形，
∴A₁C⊥AC₁，
∵A₁C?平面A₁CB，BC?平面A₁CB，A₁C∩BC=C，
∴AC₁⊥平面A₁CB，
∵BA₁?平面A₁CB，
∴AC₁⊥BA₁．
（Ⅱ）∵VA1-ABC=

1

3

S_△ABC•A₁D=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

2 3

3

．
VA1B1C1-ABC=S_△ABC•A₁D=

1

2

×2×2×

3

=2

3

．
∴VA1-BCC1B1=VA1B1C1-ABC-VA1-ABC=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用，和棱柱体积的计算．考查了学生空间观察能力和实际运算能力．