题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2．（1）求证：AD⊥平面PQB；
（2）若PM=
| 1 |
| 3 |
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）连结BD，由已知得△ABD是正三角形，AD⊥BQ，由等腰三角形性质得AD⊥PQ，由此能证明AD⊥平面PQB．
（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Q-xyz，求出平面MQB的法向量和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．
（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Q-xyz，求出平面MQB的法向量和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．
解答：
（1）证明：连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是正三角形，又Q为AD中点，∴AD⊥BQ，
∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB．
（2）解：∵PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz，
由PA=PD=AD=2，则B（0，
，0），C（-2，
，0），
P（0，0，
），设M（a，b，c），
则
=（a，b，c-
），
=（-2，
，-
），
∵PM=
PC，∴
=
，
∴a=-
，b=
，c=
，∴M（-
，
，
），
设平面MQB的法向量
=（x，y，z），
由
=（-
，
，
），
=（0，
，0），
且
⊥
，
⊥
，得
，
取z=1，得
=（
，0，1），
又平面ABCD的法向量
=（0，0，1），
∴cos＜
，
＞=
=
，
由图知二面角M-BQ-C的平面角为锐角，
∴二面角M-BQ-C的大小为60°．
∴△ABD是正三角形，又Q为AD中点，∴AD⊥BQ，
∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB．
（2）解：∵PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz，
由PA=PD=AD=2，则B（0，
| 3 |
| 3 |
P（0，0，
| 3 |
则
| PM |
| 3 |
| PC |
| 3 |
| 3 |
∵PM=
| 1 |
| 3 |
| PM |
| 1 |
| 3 |
| PC |
∴a=-
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
设平面MQB的法向量
| n |
由
| QM |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| QB |
| 3 |
且
| n |
| QM |
| n |
| QB |
|
取z=1，得
| n |
| 3 |
又平面ABCD的法向量
| m |
∴cos＜
| m |
| n |
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
由图知二面角M-BQ-C的平面角为锐角，
∴二面角M-BQ-C的大小为60°．
点评：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．
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