Question

已知圆C：x²+y²+4x-6y+8=0，直线l过定点M（-1，2）．
（Ⅰ）若直线l与圆C交于不同的两点AB，且|AB|=3

2

，求直线l的方程；
（Ⅱ）求直线l被圆C所截弦长最短时直线l的方程以及最短长度．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）将圆C化为标准方程，求出圆心和半径，根据|AB|=2=4，求出弦心距d，可得直线的斜率，再由点斜式求得直线的方程．
（Ⅱ）当直线l过点M（-1，2）且与CM垂直时弦长最短，此时k_CM的值，可得k_l=1，点斜式求得直线l的方程，求出弦心距，从而求得弦长．

解答： 解：（Ⅰ）将圆C化为标准方程（x+2）²+（y-3）²=5，它是以C（-2，3）为圆心，

5

为半径的圆．
当直线l垂直x轴时，直线l的方程为x=-1，圆心到直线x=-1的距离为1，
由于|AB|=2

5-1

=4，故不合题意．
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，圆心到直线l的距离为d，
则d=

|-2k-3+k+2|

k2+1

=

r2-( AB 2 )2

=

5- 18 4

=

2

2

，
两边平方化简得k²+4k+1=0，解得k=-2+

3

，或者k=-2-

3

，
故直线l的方程为（-2+

3

）x-y+

3

=0或（-2-

3

）x-y-

3

=0，
即 （2-

3

）x+y-

3

=0或（2+

3

）x+y+

3

=0．
（Ⅱ）当直线l过点M（-1，2）且与CM垂直时弦长最短，此时k_CM=-2+13-2=-1，
则k_l=1，故直线l的方程为x-y+3=0，弦心距d=

|-2-3+3|

2

=

2

，弦长为2

r2-d2

=2

3

．

点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．