Question

函数f(x)=cos2(x-

π

6

)-cos2(x+

π

3

)．
（Ⅰ）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，已知sinB=cosAsinC，f(B)=

1

2

，

AB

•

AC

=4

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：综合题

分析：（Ⅰ）首先将函数f（x）进行化简，从而根据定义域确定值域．
（Ⅱ）根据已知条件求出△ABC中各角的度数，再利用向量积确定bc的值，从而求出△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=cos2(x-

π

6

)-cos2(x+

π

3

)
=cos2(x-

π

6

)-sin2[

π

2

-(x+

π

3

)]
=cos2(x-

π

6

)-sin2(x-

π

6

)
=cos(2x-

π

3

)．
由x∈[0，

π

2

]，得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴f(x)的值域为[-

1

2

，1]．
（Ⅱ）∵sinB=cosAsinC
∴cosAsinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC
∴sinAcosC=0，
∴C=90°．
f(B)=cos(2B-

π

3

)=

1

2

，-

π

3

＜2B＜

2π

3

．
则2B-

π

3

=

π

3

．
∴B=

π

3

，A=

π

6

．
又∵

AB

•

AC

=cbcosA=

3

2

bc=4

3

．
∴bc=8．
∴S△ABC=

1

2

cbsinA=

1

2

×8×

1

2

=2．

点评：本题考查三角函数化简，正弦定理已经向量的综合知识，属于中档题．