Question

19．在△ABC中，D，E分别为线段AB，AC上的点，且$AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{2}{3}AC$，若BE⊥CD，则sinA的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 以A为原点，以AC所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设△ABC中的边BC，AC，AB，分别为a，b，c，可得D（$\frac{1}{2}$ccosA，$\frac{1}{2}$csinA），E（$\frac{2}{3}$b，0），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{2}{3}$b-ccosA，-csinA），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{1}{2}$ccosA-b，$\frac{1}{2}$csinA），由$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{2}{3}$b-ccosA）•（$\frac{1}{2}$ccosA-b）-$\frac{1}{2}$c²sin²A=0，得$\frac{4}{3}$bccosA-$\frac{2}{3}{b}^{2}$-$\frac{1}{2}$c²（cos²A+sin²A）=0，cosA=$\frac{\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{2}{3}{b}^{2}}{\frac{4}{3}bc}$$≥\frac{2\sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{4}{3}bc}bc$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求解

解答 解：以A为原点，以AC所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
设△ABC中的边BC，AC，AB，分别为a，b，c，
∴A（0，0），C（b，0），B（ccosA，csinA），
∵$AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{2}{3}AC$，
∴D（$\frac{1}{2}$ccosA，$\frac{1}{2}$csinA），E（$\frac{2}{3}$b，0），
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{2}{3}$b-ccosA，-csinA），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{1}{2}$ccosA-b，$\frac{1}{2}$csinA），
∵BE⊥CD，
∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{2}{3}$b-ccosA）•（$\frac{1}{2}$ccosA-b）-$\frac{1}{2}$c²sin²A=0，
∴$\frac{4}{3}$bccosA-$\frac{2}{3}{b}^{2}$-$\frac{1}{2}$c²（cos²A+sin²A）=0，
∴cosA=$\frac{\frac{1}{2}{c}^{2}+\frac{2}{3}{b}^{2}}{\frac{4}{3}bc}$$≥\frac{2\sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{4}{3}bc}bc$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$sinA≤\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$，
则sinA的最大值为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量与三角的综合应用，考查了建立坐标系处理平面几何问题的解题策略，属于中档题．