Question

8．已知F₁，F₂为双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点M在E上，MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，则E的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，
∴设MF₁=m，则MF₂=3m，
由双曲线的定义得3m-m=2a，即2m=2a，得m=a，
在直角三角形MF₂F₁中，9m²-m²=4c²，即8m²=4c²，
即8a²=4c²，
即2a²=c²，
则$\sqrt{2}$a=c，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定4义是解决本题的关键．