Question

已知函数f（x）的定义域为R，任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y），且当x≥0时f（x）≥1，解不等式f（x）＜

1

f(x+1)

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由条件令x=y=

t

2

，则f（t）=f²（

t

2

）≥0，舍去等号，再令x=y=0即有f（0）=1．再令m≤n，则n-m≥0，即有f（n-m）≥1，再由条件即可得到f（x）在R上递增，则f（x）＜

1

f(x+1)

，即为f（x）f（x+1）＜1，由已知条件和单调性即可得到解集．

解答： 解：∵任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（y），
∴令x=y=

t

2

，则f（t）=f²（

t

2

）≥0，
由当x≥0时f（x）≥1，显然f（t）＞0，
再令x=y=0，则f（0）=f²（0），即有f（0）=1．
再令m≤n，则n-m≥0，即有f（n-m）≥1，
则f（n）=f（n-m+m）=f（n-m）f（m）≥f（m），
即有f（x）在R上递增，
则f（x）＜

1

f(x+1)

，即为f（x）f（x+1）＜1，
即有f（2x+1）＜1=f（0），
由f（x）在R上递增，
则2x+1＜0，解得x＜-

1

2

．
故不等式的解集为（-∞，-

1

2

）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查函数的单调性及运用解不等式，属于中档题．