题目内容
已知数列{an}是递增数列，an=n2+λn，求实数λ的取值范围．
考点：数列的函数特性
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：根据所给的数列的项，写出数列的第n+1项，根据数列是一个递增数列，把所给的两项做差，得到不等式，根据恒成立得到结果
解答：
解：∵an=n2+λn，
∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）
∵数列{an}是递增数列，
∴an+1＞an，
则（n+1）2+λ（n+1）-n2-λn＞0
即2n+1+λ＞0
∴λ＞-2n-1
∵对于任意正整数都成立，
∴λ＞-3
故实数λ的取值范围是（-3，+∞）
∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）
∵数列{an}是递增数列，
∴an+1＞an，
则（n+1）2+λ（n+1）-n2-λn＞0
即2n+1+λ＞0
∴λ＞-2n-1
∵对于任意正整数都成立，
∴λ＞-3
故实数λ的取值范围是（-3，+∞）
点评：本题考查数列的函数的特性，本题解题的关键根据数列递增得到an+1＞an．
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