Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性并加以证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的性质推断出f（0）=0求得b的值．
（2）先分离常数，再利用单调性的定义证明即可．
（3）根据奇函数的性质和函数的单调性，得到t²-2t＞-2t²+k，再分离参数k，求出函数3t²-2t的最小值即可．

解答： 解（1）∵函数为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴

-1+b

2+2

=0
解得b=1，
（2）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=

-(2x+1)+2

2(2x+1)

=-

1

2

+

1

2x+1

，
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

1

2x1+1

+

1

2

-

1

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴函数f（x）为减函数．
（3）∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）恒成立，
∵函数f（x）在R上为减函数．
∴t²-2t＞-2t²+k，
∴k＜3t²-2t=3（t-

2

3

）²-

1

3

，
∴k＜-

1

3

，
故k的取值范围为（-∞，

1

3

）

点评：本题主要考查了奇函数的性质和含有参数的取值范围，属于中档题．