Question

12．如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD的中点．将△BCD与△AEF分别沿CD，EF同侧折起，使得二面角A-EF-D与二面角B-CD-E的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．

（1）在多面体中，求证：A，B，D，E四点共同面；
（2）求多面体的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，从而AE∥BD，由此能证明A，B，D，E四点共同面．
（2）求出AE是四棱锥A-CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，多面体的体积V=V_A-CDEF+V_A-BCD，由此能求出结果．

解答 证明：（1）因为二面角A-EF-D的大小等于90°，
所以平面AEF⊥平面DEFC，
又AE⊥EF，AE?平面AEF，平面AEF∩平面DEFC=EF，
所以AE⊥平面DEFC，
同理，可得BD⊥平面DEFC，
所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共同面．
解：（2）因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，
所以AE是四棱锥A-CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD，
又$AE=DE=1，CD=2\sqrt{3}$，$EF=\sqrt{3}$，
所以$V={V_{A-CDEF}}+{V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{梯形CDEF}}•DE+\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•DE=\frac{{7\sqrt{3}}}{6}$．

点评 本题考查四点共面的证明，考查多面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．