Question

20．已知函数f（x）=xlnx+ax+b在（1，f（1））处的切线为2x-2y-1=0．
（1）求f（x）的单调区间与最小值；
（2）求证：${e^x}+lnx＞cosx+\frac{sinx-1}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）求出a，b的值，求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和最值即可；
（2）令g（x）=x-sinx，x＞0，得到当x＞0时，x＞sinx，令h（x）=e^x-x-1，x＞0，根据函数的单调性将问题转化为只需证$x+1+lnx＞2-\frac{1}{x}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）f'（x）=1+lnx+a，
故f'（1）=1+a=1，得a=0，又2-2f（1）-1=0，
所以$f（1）=a+b=\frac{1}{2}$，得$b=\frac{1}{2}$．
则$f（x）=xlnx+\frac{1}{2}$，f'（x）=1+lnx，
当$x∈（{0，\frac{1}{e}}]$时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；
当$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以$f{（{\frac{1}{e}}）_{min}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{e}$．
（2）证明：令g（x）=x-sinx，x＞0，g'（x）=1-cosx≥0，g（x）递增，
所以g（x）＞g（0）=0，所以当x＞0时，x＞sinx，
令h（x）=e^x-x-1，x＞0，h'（x）=e^x-1≥0，h（x）递增，
h（x）＞h（0）=0，所以当x＞0时，e^x＞x+1，
要证${e^x}+lnx＞cosx+\frac{sinx-1}{x}$，由-1≤cosx≤1，x＞sinx，及e^x＞x+1，
得，${e^x}+lnx＞x+1+lnx，cosx+\frac{sinx-1}{x}＜1+1-\frac{1}{x}$，故原不等式成立，
只需证$x+1+lnx＞2-\frac{1}{x}$，
即证x²-x+1+xlnx＞0．由（1）可得$xlnx≥-\frac{1}{e}$，且${x^2}-x+1≥\frac{3}{4}$，
所以${x^2}-x+1+xlnx＞\frac{3}{4}-\frac{1}{e}＞0$，则原不等式成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，是一道综合题．