Question

10．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图．
（1）已知[30，40）、[40，50）、[50，60）三个年龄段的上
网购物者人数成等差数列，求a，b的值；
（2）该电子商务平台将年在[30，50）之间的人群定为高消费人群，其他的年龄段定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放80元的代金券．已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人，现在要在这10人中随机抽取3人进行回访，求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）由于五个组的频率之和等于1，故：0.015×10+10a+10b+0.015×10+0.01×10=1，且a-b=b-0.015，联立解出即可得出．
（2）由已知高消费人群所占比例为10（a+b）=0.6，潜在消费人群的比例为0.4．由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人．随机抽取的三人中代金券总和X可能的取值为：240，210，180，150．再利用“超几分布列”的概率计算公式及其数学期望即可得出．

解答 解：（1）由于五个组的频率之和等于1，故：0.015×10+10a+10b+0.015×10+0.01×10=1，且a-b=b-0.015
联立解出a=0.035，b=0.025
（2）由已知高消费人群所占比例为10（a+b）=0.6，潜在消费人群的比例为0.4，
由分层抽样的性质知抽出的10人中，高消费人群有6人，潜在消费人群有4人，
随机抽取的三人中代金券总和X可能的取值为：240，210，180，150．
$P（X=240）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{30}$；$P（X=210）=\frac{C_4^2C_6^1}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{10}$$P（X=180）=\frac{C_4^1C_6^2}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{2}$；$P（X=150）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{6}$
列表如下：

X	240	210	180	150
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

数学期望$EX=240×\frac{1}{30}+210×\frac{3}{10}+180×\frac{1}{2}+150×\frac{1}{6}=186$

点评 本题考查了频率分布直方图“超几分布列”的概率计算公式及其数学期望、分层抽样的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．