Question

15．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，asinA+bsinB-csinC=$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$asinB．
（1）求B的值；
（2）设b=10，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得${a^2}+{b^2}-{c^2}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}ab$，利用余弦定理可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，sinA的值，进而利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cosB，解得B的范围即可得解B的值．
（2）利用正弦定理可求c，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）由已知可得${a^2}+{b^2}-{c^2}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}ab$，
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
∵A，C∈（0，π），
∴$sinC=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，$sinA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴cosB=-cos（A+C）=-（$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}$-$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{4}$．
（2）∵$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=10$\sqrt{2}$，
∴c=10$\sqrt{2}×$$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=6$\sqrt{5}$，
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×10×6\sqrt{5}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=60$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，熟练掌握相关公式的应用是解题的关键，属于中档题．