题目内容
已知单位向量
，
的夹角为θ（0＜θ＜π，且θ≠
），若平面向量
满足
=x
+y
（x，y∈R），则有序实数对（x，y）称为向量
在“仿射”坐标系Oxy（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作
=（x，y）θ．有下列命题：
①已知
=（2，-1）θ，
=（1，2）θ，则
•
=0；
②已知
=(x，y)
，
=(1，1)
，其中xy≠0，则且仅当x=y时，向量
•
的夹角取得最小值；
③已知
=（x1，y1）θ，
=（x2，y2）θ，则
-
=（x1-x2，y1-y2）θ；
④已知
=（1，0）θ，
=(0，1)θ，则线段AB的长度为2sin
．
其中真命题有 （写出所有真命题的序号）
| i |
| j |
| π |
| 2 |
| a |
| a |
| i |
| j |
| a |
| a |
①已知
| a |
| b |
| a |
| b |
②已知
| a |
| π |
| 3 |
| b |
| π |
| 3 |
| a |
| b |
③已知
| a |
| b |
| a |
| b |
④已知
| OA |
| OB |
| θ |
| 2 |
其中真命题有
考点：平面向量的基本定理及其意义,平面向量的综合题
专题：平面向量及应用
分析：关键是理解仿射坐标的概念，利用平面向量的共线定理及数量积运算即可求解．
解答：
解：①若
=（2，-1）θ，
=（1，2）θ，则
•
=（2
-
）•（
+2
）=3
•
≠0，故①为假命题；
②
=(x，y)
，
=(1，1)
，其中xy≠0，
，
夹角最小，即
，
同向，
∴存在实数λ＞0，满足
=λ
根据仿射坐标的定义，易知x=y=λ＞0
故②为假命题；
③若
=（x1，y1）θ，
=（x2，y2）θ，则
-
=x1
+y1
-（x2
+y2
）=（x1-x2）
+（y1-y2）
∴
-
=（x1-x2，y1-y2）θ，
故③为真命题；
④
=
-
=（-1，1）
∴|
|2=2-2cosθ=2（1-cosθ）=4sin2
∴AB的长度为2sin
．
故④为真命题；
故答案为：③④．
| a |
| b |
| a |
| b |
| i |
| j |
| i |
| j |
| i |
| j |
②
| a |
| π |
| 3 |
| b |
| π |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴存在实数λ＞0，满足
| a |
| b |
根据仿射坐标的定义，易知x=y=λ＞0
故②为假命题；
③若
| a |
| b |
| a |
| b |
| i |
| j |
| i |
| j |
| i |
| j |
∴
| a |
| b |
故③为真命题；
④
| AB |
| OB |
| OA |
∴|
| AB |
| θ |
| 2 |
∴AB的长度为2sin
| θ |
| 2 |
故④为真命题；
故答案为：③④．
点评：本题主要考察了向量的相关概念，综合性较强，属于中档题．
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