Question

线段AB是圆C₁：x²+y²=10的一条直径，离心率为

5

的双曲线C₂以A，B为焦点．若P是圆C₁与双曲线C₂的一个公共点，则|PA|+|PB|的值为（　　）

• A、2

  2

• B、2

  15

• C、4

  3

• D、6

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设知双曲线C₂的焦距2c=|AB|=2

10

，双曲线的实半轴a=

2

，由P是圆C₁与双曲线C₂的公共点，知||PA|-|PB||=2

2

，|PA|²+|PB|²=40，由此能求出|PA|+|PB|．

解答： 解：∵圆C₁：x²+y²=10的半径r=

10

，
∵线段AB是圆C₁：x²+y²=10的一条直径，离心率为

5

的双曲线C₂以A，B为焦点，
∴双曲线C₂的焦距2c=|AB|=2

10

，
∵P是圆C₁与双曲线C₂的一个公共点，
∴||PA|-|PB||=2a，|PA|²+|PB|²=40，
∴|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|=4a²，
∵c=

10

，e=

c

a

=

5

，
∴a=

2

，
∴2|PA||PB|=32，
∴|PA|²+|PB|²+2|PA||PB|=（|PA|+|PB|）²=72，
∴|PA|+|PB|=6

2

．
故选：D．

点评：本题考查|PA|+|PB|的值的求法，具体涉及到圆的简单性质，双曲线的性质和应用，属于中档题．