Question

函数f（x）=x+

1-x2

的最大值为

 

，最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：设x=cosθ∈[-1，1]，则sinθ=

1-x2

，θ∈[0 π]，可得f（x）=g（θ）=cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

），再根据正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．

解答： 解：∵函数f（x）=x+

1-x2

，设x=cosθ∈[-1，1]，则sinθ=

1-x2

，θ∈[0 π]，
∴f（x）=g（θ）=cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

），θ+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

π]，
故当θ+

π

4

=

π

2

时，函数f（x）=g（θ）取得最大值为

2

，当 θ+

π

4

=

5π

4

时，函数f（x）=g（θ）取得最小值为-1，
故答案为：

2

；-1．

点评：本题主要考查求函数的值域，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．