Question

16．已知sinθ、cosθ是关于x的方程x²-2$\sqrt{2}$ax+a=0的两个根．
（1）求实数a的值；
（2）若θ∈（-$\frac{π}{2}$，0），求sinθ-cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）由sinθ、cosθ为已知方程的两根，得到根的判别式大于等于0，求出θ的范围，利用韦达定理表示出sinθ+cosθ与sinθcosθ，利用同角三角函数间的基本关系列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值．
（2）利用角的范围可得：sinθ＜0，cosθ＞0，由（1）可得：a=-$\frac{1}{4}$，sinθ+cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinθcosθ=-$\frac{1}{4}$，
从而利用sinθ-cosθ=-$\sqrt{1-2sinθcosθ}$即可求值．

解答 解：（1）∵sinθ、cosθ是方程x²-2$\sqrt{2}$ax+a=0的两个实根，
∴sinθ+cosθ=2$\sqrt{2}a$①，sinθcosθ=a②，△=b²-4ac=8a²-4a≥0，即a≤0或a≥$\frac{1}{2}$，
∴（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=1+2a=8a²，即8a²-2a-1=0，
解得：a=-$\frac{1}{4}$，或$\frac{1}{2}$．
（2）∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴sinθ＜0，cosθ＞0，可得：sinθcosθ=a＜0，由（1）可得：a=-$\frac{1}{4}$，
∴sinθ+cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinθcosθ=-$\frac{1}{4}$，
∴sinθ-cosθ=-$\sqrt{1-2sinθcosθ}$=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及韦达定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．