Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，AB=AD=a，AA₁=2a．
（1）求多面体A₁B₁C₁D₁-BCD的体积；
（2）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）多面体A₁B₁C₁D₁-BCD的体积V=V长方体-VA1-ACD；
（2）欲证平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD，根据面面垂直的判定定理可知在平面A₁BD内一直线与平面ACC₁A₁垂直，而根据线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACC₁A₁．

解答： （1）解：多面体A₁B₁C₁D₁-BCD的体积V=V长方体-VA1-ACD…（2分）
=AB×AD×AA1-

1

3

×

1

2

×AB×AD×AA1…（4分）
=

5

3

a3…（6分）
（2）证明：A₁B₁C₁D₁-ABCD是长方体，AA₁⊥底面ABCD…（7分），
所以AA₁⊥BD…（9分）
又因为AB=AD且ABCD是长方体，所以AC⊥BD…（10分）
因为AA₁∩AC=A，所以BD⊥平面ACC₁A₁…（12分）
因为BD?平面A₁BD，所以平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁…（14分）．

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定，考查识图能力和逻辑思维能力，考查转化思想，属于中档题．