Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a=2bcosB．
（1）求证：A=2B或B=C；
（2）若a=3，b=2，求c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得：sin2B=sinA=sin（B+C），可得2B=A，或2B=π-A=（A+B+C）-A，即可解得A=2B或B=C．
（2）由已知及余弦定理可得$\frac{3}{4}$=$\frac{9+{c}^{2}-4}{2×3×c}$，整理可得：2c²-9c+10=0，即可解得c的值．

解答 解：（1）证明：∵a=2bcosB，由正弦定理可得：2sinBcosB=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sin2B=sinA=sin（B+C），
∴2B=A，或2B=π-A=（A+B+C）-A，
∴A=2B或B=C，得证；
（2）∵a=3，b=2，a=2bcosB．
∴cosB=$\frac{a}{2b}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{9+{c}^{2}-4}{2×3×c}$，整理可得：2c²-9c+10=0，
∴解得：c=2或$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．