Question

20．已知函数f（x）=e^x-ax-b．（e为自然对数的底数，e≈2.71828）
（1）若曲线y=f（x）在x=1处取得极值1，求实数a、b的值；
（2）当x∈（0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y≥x-b}\end{array}\right.$所表示的区域内，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 本题属于导数基础题型．（1）求a，b的值，主要是理解函数的极值定义得到f'（1）=0，f（1）=1；
（2）函数y=f（x）图象上的点都在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y≥x-b}\end{array}\right.$所表示的区域内，要转换为e^x-ax-b≥x-b对x∈（0，+∞）恒成立问题．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-ax-b，
∴f'（x）=e^x-a，
∵曲线y=f（x）在x=1处取得极值1，
∴f'（1）=0，f（1）=1，从而 $\left\{\begin{array}{l}{e-a=0}\\{e-a-b=1}\end{array}\right.$
∴a=e，b=-1；
（2）由题意得e^x-ax-b≥x-b对x∈（0，+∞）恒成立，
即：e^x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，∴$a+1≤\frac{{e}^{x}}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立，
设$g（x）=\frac{{e}^{x}}{x}$，则$g'（x）=\frac{{e}^{x}x-{e}^{x}}{{x}^{2}}=\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$
∴x∈（0，1）时，g（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，g（x）单调递增，
从而g（x）_min=g（1）=e
∴a+1≤e  从而a的取值范围是（-∞，e-1]．

点评 本题主要考查了函数的极值定义，以及利用导数来判断函数的图形，求函数最值．此类题型属高考常考题型，考生应当熟练掌握．