Question

8．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1右焦点作一条斜率为$\frac{1}{2}$的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 由题意可得：直线AB的方程为：y=$\frac{1}{2}$（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆方程联立化为：4x²-2x-11=0，
可得$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{（{x_1}+{x_2}{）^2}-4{x_1}{x_2}}$，求出O到直线AB：x-2y-1=0的距离d，即可得出△OAB的面积．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，∴椭圆的右焦点为F₂（1，0）．
∴直线AB的方程为：y=$\frac{1}{2}$（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得4x²-2x-11=0，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=\frac{1}{2}}\\{{x_1}{x_2}=-\frac{11}{4}}\end{array}}\right.$，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{（{x_1}+{x_2}{）^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}•\sqrt{\frac{1}{4}+11}=\frac{15}{4}$，
O到直线AB：x-2y-1=0的距离$d=\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}×\frac{15}{4}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}=\frac{{3\sqrt{5}}}{8}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．