Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左焦点为F₁（-c，0），右焦点为F₂（c，0）．若椭圆上存在一点P，线段PF₂与圆${x^2}+{y^2}=\frac{c^2}{4}$相切于点E，且E为线段PF₂中点，则该椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 如图所示，连接OE，F₁P．利用切线的性质可得OE⊥PF₂．利用三角形中位线定理可得：OE=$\frac{c}{2}$=$\frac{1}{2}P{F}_{1}$，OE∥PF₁．
再利用勾股定理与离心率计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
连接OE，F₁P．
∵线段PF₂与圆${x^2}+{y^2}=\frac{c^2}{4}$相切于点E，∴OE⊥PF₂．
又O为F₁F₂的中点，
∴OE=$\frac{c}{2}$=$\frac{1}{2}P{F}_{1}$，OE∥PF₁．
∴PF₁=c，PF₂=2a-c，∠F₁PF₂=∠OEF₂=90^°．
∴c²+（2a-c）²=（2c）²，
化为：e²+2e-2=0，0＜e＜1，
解得e=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切性质、三角形中位线定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．