Question

15．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=60°，已知PB=PD=2，$PA=\sqrt{6}$．
（Ⅰ）证明：PC⊥BD；
（Ⅱ）若E为PA的中点，求二面角P-BC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC、BD，交于点O，连接PO，推导出AC⊥BD，PO⊥BD，由此能证明BD⊥PC．
（Ⅱ）以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BC-E的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC、BD，交于点O，连接PO，
∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PB=PD=2，
∴AC⊥BD，PO⊥BD，
∵AC∩PO=O，∴BD⊥平面APC，
∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC．
解：（Ⅱ）∵ABCD是菱形，PO⊥BD，∴PO⊥平面ABCD，
以OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=60°，PB=PD=2，$PA=\sqrt{6}$，E为PA的中点，
∴B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面BCP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，-1），
设平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{3}a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=\frac{\sqrt{3}}{2}a-b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，-3），
设二面角P-BC-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{7}{\sqrt{5}•\sqrt{13}}$=$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．
∴二面角P-BC-E的余弦值为$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．