Question

11．已知函数f（x）=ax²-2x+1
（1）若函数y=f（x）在x∈[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围
（2）当x∈[1，2]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，结合二次函数的性质，即可求实数a的取值范围；
（2）将f（x）＞0分离参变量转化为最值问题．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=-2x+1，符合题意；
a≠0时，函数的对称轴为x=$\frac{1}{a}$，
a＜0时，函数y=f（x）在x∈[1，2]上是减函数，$\frac{1}{a}$≤1，∴a＜0；
a＞0时，函数y=f（x）在x∈[1，2]上是减函数，$\frac{1}{a}$≥2，∴0＜a≤$\frac{1}{2}$，
综上所述，a≤$\frac{1}{2}$；
（2）当x∈[1，2]时，ax²-2x+1＞0恒成立，可以化为：a＞-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=-$（\frac{1}{x}-1）^{2}$+1恒成立，
又-$（\frac{1}{x}-1）^{2}$+1在x∈[1，2]上的最大值为1，所以a＞1．

点评 本题以求范围为载体讨论了函数的恒成立与函数的单调性问题，属于中档题．