Question

在如图所示的多面体中，四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都为矩形．
（1）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）是否存在过A₁C的平面α，使得直线BC₁∥α平行，若存在请作出平面α并证明，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：作图题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由矩形由找到垂直，证明AA₁⊥平面ABC；从而证明BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）先说明存在，然后作图证明；连接A₁C，AC₁，设A₁C∩AC₁=D，取线段AB的中点M，连接A₁M，MC．则平面A₁CM为为所求的平面α．

解答： 解：（1）证明：∵四边形ABB₁A₁和ACC₁A₁都是矩形，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
∵AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，
∴AA₁⊥平面ABC；
∵直线BC?平面ABC，
∴AA₁⊥BC
又由已知，AC⊥BC，AA₁，AC为平面ACC₁A₁内的两条相交直线，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）存在，证明如下：
连接A₁C，AC₁，设A₁C∩AC₁=D，取线段AB的中点M，连接A₁M，MC．
则平面A₁CM为为所求的平面α．
由作图可知M，D分别为AB、AC₁的中点，
∴MD

∥ .

.

1

2

BC1，
又∵MD?α，BC₁?α
∴BC₁∥α．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理与性质，同时考查了作图方法，属于中档题．