Question

已知：2^x≤256且log

1

2

1

x

≥

1

2

，
（1）求x的取值范围；
（2）求函数f（x）=log₂（

x

2

）．log 

2

（

x

2

）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用指数函数、对数函数的单调性，即可求x的取值范围；
（2）换元，利用配方法，即可求函数f（x）=log₂（

x

2

）．log 

2

（

x

2

）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵2^x≤256且log

1

2

1

x

≥

1

2

，
∴

2

≤x≤16；
（2）令t=log₂x（

1

2

≤t≤4），则y=（t-1）（t-2）=（t-

3

2

）²-

1

4

，
∵

1

2

≤t≤4，
∴t=

3

2

，即x=2

3

2

时，函数f（x）=log₂（

x

2

）．log 

2

（

x

2

）的最小值为-

1

4

；
t=4，即x=16时，函数f（x）=log₂（

x

2

）．log 

2

（

x

2

）的最大值为6．

点评：本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查换元，配方法，考查学生的计算能力，属于中档题．