Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一动点到右焦点的最短距离为2-

2

，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q．
（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，直线MN中点的横坐标为x₀，求x₀的范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

a-c=2- 2 a2 c -c=b

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线PB的方程为y=k（x-4）．由

y=k(x-4) x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．设点B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则直线AE的方程为y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)．由此能证明直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．
（3）设直线MN的方程为y=m（x-1），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）．由

y=m(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（2m²+1）x²-4m²x+2m²-4=0．由此利用韦达定理结合已知条件能求出x₀的范围．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一动点到右焦点的最短距离为2-

2

，
右焦点到右准线的距离等于短半轴的长，
∴

a-c=2- 2 a2 c -c=b

，
解得

a=2 b= 2

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）证明：由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）．
由

y=k(x-4) x2 4 + y2 2 =1

，得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．①
设点B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
则A（x₁，-y₁）．直线AE的方程为y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)．
令y=0，得x=x₂-

y2(x2-x1)

y2+y1

．
将y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入，
整理，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

．②
由①得x1+x2=

16k2

2k2+1

，x1x2=

32k2-4

2k2+1

，
代入②，整理，得x=1．
∴直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．
（3）解：当过点Q的直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为y=m（x-1），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）．
由

y=m(x-1) x2 4 + y2 2 =1

，得（2m²+1）x²-4m²x+2m²-4=0．
∴xM+xN=

4m2

2m2+1

，x0=

2m2

2m2+1

=1-

1

2m2+1

．
∵m²≥0，∴0≤x₀＜1．
当直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．
∴M（1，

6

2

），N（1，-

6

2

）．则中点横坐标x₀=1．
综上：x₀的范围是[0，1]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段中点坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．