Question

叙述椭圆的定义，并推导椭圆的标准方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：叙述椭圆的定义，恰当地建立平面直线坐标系，利用两点间距离公式能求出椭圆的标准方程．

解答： 解：椭圆定义：平面内到两个定点F₁，F₂的距离之和为定值（定值大于两定点的距离）的点的集合（或轨迹）为椭圆，F₁，F₂称为椭圆的两个焦点．
设|F₁F₂|=2c（c＞0），定值为2a（a＞0），且a＞c＞0，
取F₁F₂所在直线为x轴，线段F₁F₂的中点为坐标原点O，
建立直角坐标系，设动点M（x，y），则F₁（-c，0），F₂（c，0），
由已知条件，得|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴

(x+c)2+y2

+

(x-c)2+y2

=2a，
化简，整理得

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1，
∵a＞c＞0，∴令a²-c²=b²，（b＞0），
则有

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
∴焦点在x轴的椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
如果取F₁F₂所在的直线为y轴，则椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．

点评：本题考查椭圆定义的叙述和椭圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和分类讨论思想的合理运用．