Question

已知函数f（x）=e^x-2x（e为自然对数的底数）
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若存在x∈[

1

2

，2]，使不等式f（x）＜mx成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出f（0）=1，f′（0）=-1，由此能求出曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（Ⅱ）由f′（x）=e^x-2，利用导数的性质能求出f（x）的单调区间．
（Ⅲ）由题意知?x∈[

1

2

，2]，使f（x）＜mx成立，从而得到m＞（

ex-2x

x

）_min，由此利用导数的性质能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-2x，
∴f（0）=1，f′（x）=e^x-2，
∴f′（0）=-1，
∴曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．
（Ⅱ）f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，解得x=ln2，
当x∈（-∞，ln2）时，f′（x）＜0，
当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调减区间是（-∞，ln2），单调增区间是（ln2，+∞）．
（Ⅲ）由题意知?x∈[

1

2

，2]，使f（x）＜mx成立，
即?x∈[

1

2

，2]，使m＞

ex-2x

x

成立，
∴m＞（

ex-2x

x

）_min，
令g(x)=

ex

x

-2，则g′（x）=

(x-1)ex

x2

，
∴g（x）在[

1

2

，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=e-2，
∴m∈（e-2，+∞）．

点评：本题考查切线方程的求法，考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和等价转化思想的合理运用．