Question

设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）根据三角函数和角公式，得到2sinBcosA=sin（A+C），然后，结合三角函数中角的关系，得到角A的大小；
（Ⅱ）结合（Ⅰ），正弦定理，得到b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，然后，构造三角形的周长表达式，利用辅助角公式化简后，并且结合角度的范围，求解△ABC的周长的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由三角函数的和角公式，得
2sinBcosA=sin（A+C），
∵B=π-（A+C），
∴sinB=sin（A+C），
∴2sinBcosA=sinB，B∈（0，π），
∵sinB≠0，
∴2cosA=1，∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）根据正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∵a=6，A=

π

3

，
b=4

3

sinB，c=4

3

sinC，B=

2π

3

-C，
∴l=a+b+c
=6+4

3

sinB+4

3

sinC
=6+4

3

sin（

2π

3

-C）+4

3

sinC
=6+6cosC+6

3

sinC
=6+12sin（C+

π

6

）
∵C∈（0，

2π

3

），
∴C+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴12sin（C+

π

6

）∈（6，12]，
∴△ABC的周长的取值范围（12，18]．

点评：本题综合考查了三角函数、三角恒等变换公式、解三角形等知识，属于中档题．