Question

已知函数f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立转化为m²-

3

4

m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．

解答： 解：对于函数f（x）=

-x2+x，x≤1 log 1 3 x，x＞1

，
当x≤1时，f（x）=-x2+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

；
当x＞1时，f（x）=log

1

3

x＜0．
∴要使不等式f（x）≤m²-

3

4

m恒成立，
则m2-

3

4

m≥

1

4

恒成立，即m≤-

1

4

或m≥1．
故答案为：m≤-

1

4

或m≥1．

点评：本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．