Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x²+y²=

a2

4

的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若

OP

=2

OE

-

OF

，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  10

• B、

  10

  5

• C、

  10

  2

• D、

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设右焦点为F′，由

OP

=2

OE

-

OF

，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．

解答： 解：设右焦点为F′，则
∵

OP

=2

OE

-

OF

，
∴

OP

+

OF

=2

OE

，
∴E是PF的中点，
∴PF′=2OE=a，
∴PF=3a，
∵OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∴（3a）²+a²=4c²，
∴e=

c

a

=

10

2

，
故选：C．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．