Question

设函数f（x）=|x+1|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=2，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）如果?x∈R，f（x）≥3，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）通过a=2，去掉绝对值符号，直接解不等式f（x）≥5即可；
（Ⅱ）?x∈R，f（x）≥3，讨论a=-1，以及比-1大或小，转化不等式即可求a的取值范围．

解答： 解：（ I）a=2，f（x）=|x+1|+|x-2|．
不等式f（x）≥5即为|x+1|+|x-2|≥5，
等价于

x＜-1 -x-1+2-x≥5

⇒

x＜-1 x≤-2

⇒x≤-2；
或

-1≤x≤2 x+1+2-x≥5

⇒

-1≤x≤2 3≥5

⇒x∈∅；
或

x＞2 x+1+x-2≥5

⇒

x＞2 x≥3

⇒x≥3．
综上，不等式的解集为{x|x≤-2或x≥3}…（5分）
（II）若a=-1，f（x）=2|x+1|，不满足题设条件．
若a＜-1，f(x)=

-2x+a-1 ，  x≤a -1-a ， a＜x＜-1 2x+1-a ，x≥-1

 ，f(x)的最小值为-1-a；
若a＞-1，f(x)=

-2x+a-1 ，  x≤-1 1+a ， -1＜x＜a 2x+1-a ，x≥a

 ，f(x)的最小值为1+a．
∴?x∈R，f（x）≥3的充要条件是|a+1|≥3，从而a的取值范围是（-∞，-4]∪[2，+∞）．（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，转化思想的应用，考查计算能力．