Question

19．已知α，β均为锐角，且$cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，则α-β等于（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $-\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $-\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由已知求出sinα，sinβ的值，代入两角差的余弦求得cos（α-β），再结合α-β的范围得答案．

解答 解：∵α、β均为锐角，且$cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，cosβ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{10}}{10}+\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{2}$＜α-β＜$\frac{π}{2}$．
又cosα＞cosβ，∴α＜β，
则-$\frac{π}{2}$＜α-β＜0，
∴α-β=-$\frac{π}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查两角和与差的余弦，训练了由三角函数值求角，是中档题．